磁场强度公式H=H0e-cx的边值条件及分离变量法的理论推导
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摘要: 磁场强莲随着离磁极的距离增加,而按指数关系显著减小的公式H=H0e-cx,在弱磁场磁选设备理论设计中,巧磁系的极距、极数、磁场强度等的确定远重要的作用。原理论推导中没有指明其边值条件,将该式作为全悚开放型平面磁系的磁场强度的方程式〔1〕,其实并不然。本文主要阐述H=H0e-cx的边值条件及分离变量法的推导过程。
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一 H=H0e-cx的边值条件
原推导中提出,满足拉普拉斩方程的共扼函数lnH和α,有一个可能的解:
(1) 式中,H—磁场强度
的模;α—
与x轴的夹角。进而得出指数公式。下面用复变函数法推导其实现的边值条件。
原推导结果:
(2) 式中:H0——磁极表面中心点的磁场强度之模;
e——自然对数底;
s——两极中心线间距离。
选坐标如图 1所示。
在该复平面中,磁场强度矢量:
(3) 式中:i——
当这个场的复磁位函数的实部u(x,у)用来表示称量磁位函数,虚部v(x, у)代表通量函数时,其磁场强度的共轭复数为〔2〕:
(4) 令Z = x + iy(Z为磁系所处的平面符号)
(5) 由公式
(W为这个场的复磁位函数)〔2〕(6) (7) 所以这个场的磁位函数u(x、y),通量函效v(x, y)为:
(8) 对磁位函数u(x, y)进行讨论,选磁极间隙垂直中也线磁位为零。
即:当
时,u=0。代入(8)式有:(9) (10) 当x = 0, y =0,u =u0
当x =0, y = s, u = - u。
(11) 磁极表面是等位线,当u=u0时,则得磁极表面形状方程:
因此,磁极表面形状为类似抛物线形。
取两极中心距离s = 40厘米进行计算,根据计算结果,绘出开放型平面多极磁系磁极形状及分布,如图 2所示。
由场的唯一性原理知,满足
和 这两个条件的平面场,唯有磁极表面形状由1 = 所决定的开放型平面多极磁系才能实现。二 H=H0e-cx的分离变量法推导
为使该公式的推导在电磁场理论上更为完善,下面用分离变量法推导之。
选坐标如图 3所示。且设Z方向不影响场强分布,则拉普拉斯方程的通解为〔3〕:
(13) 式中:A1n、A2n、B1n、B2n、A10、A20、B10、B20均为待定的系数。
边界条件:
(1)y=0,
(2)x =0,
(3)
(m=0,±1, ±2,………………)由条件(1)有:A1n=0, A10 =0,B20 = 0;
由条件(2)有B1n=0, B10 =0。
故简化后的复变函数可写为:
(14) 式中:D1n = A1n·B1n
Z=x+iy,式(14)写成:(15) 由复变函数法,磁场强度
的共轭复数 为:(16) 开放型平面多极磁系磁场强度通式为:(17) 其中D1n、Cn为常数,n不同,其值也不同;由相应的选界条件决定。
根据对称性原理:
当Cny=mπ,m=0,±1,±2,±3,……时,研究在磁系的磁极对称中心x方向上
的变化,这时(18) (19) 当
, m=0,±1,±2,±3,……时,研究在磁系的极间隙中心线x方向上 的变化,这时(20) (21) 由式(19)、式(21)可知,H1和H2在x值为同一值时相等。取n=0, 则有:
(22) 由边界条件(3)有
(23) 根据
当 时(即在极和极间隙对称中心),则有:(24) 因此证得:
式中,C—磁场非均匀性系数,
三 结语
本义从电磁场理论出发,得出了公式H=H0e-cx的边值条件及分离变量推导法,从而说明了该式作为开放型平面多极磁系磁场强度方程式的局限性,完善了原弱磁场磁选理论。
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[1] 达秋克等:《磁电选矿》, 冶金工业出版社, 10—20页. [2] 梁昆淼: 《数学物理方法》, 人民教育出版社, 1979年版, 230页. [3] K. G、宾斯等: 《电场及磁场问题分析与计算》, 人民教育出版社, 1980年版, 99页