创刊于1987年, 双月刊
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ISSN:1674-9669
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磁场强度公式H=H0e-cx的边值条件及分离变量法的理论推导

彭会清

彭会清. 磁场强度公式H=H0e-cx的边值条件及分离变量法的理论推导[J]. 有色金属科学与工程, 1988, 2(2): 33-35.
引用本文: 彭会清. 磁场强度公式H=H0e-cx的边值条件及分离变量法的理论推导[J]. 有色金属科学与工程, 1988, 2(2): 33-35.

磁场强度公式H=H0e-cx的边值条件及分离变量法的理论推导

  • 摘要: 磁场强莲随着离磁极的距离增加,而按指数关系显著减小的公式H=H0e-cx,在弱磁场磁选设备理论设计中,巧磁系的极距、极数、磁场强度等的确定远重要的作用。原理论推导中没有指明其边值条件,将该式作为全悚开放型平面磁系的磁场强度的方程式1,其实并不然。本文主要阐述H=H0e-cx的边值条件及分离变量法的推导过程。
  • 原推导中提出,满足拉普拉斩方程的共扼函数lnH和α,有一个可能的解:

    (1)

    式中,H—磁场强度的模;

    α—与x轴的夹角。

    进而得出指数公式。下面用复变函数法推导其实现的边值条件。

    原推导结果:

    (2)

    式中:H0——磁极表面中心点的磁场强度之模;

    e——自然对数底;

    s——两极中心线间距离。

    选坐标如图 1所示。

    图  1  坐标示意

    在该复平面中,磁场强度矢量:

    (3)

    式中:i——

    当这个场的复磁位函数的实部u(x,у)用来表示称量磁位函数,虚部v(x, у)代表通量函数时,其磁场强度的共轭复数为2

    (4)

    令Z = x + iy(Z为磁系所处的平面符号)

    (5)

    由公式(W为这个场的复磁位函数)2

    (6)

    (7)

    所以这个场的磁位函数u(x、y),通量函效v(x, y)为:

    (8)

    对磁位函数u(x, y)进行讨论,选磁极间隙垂直中也线磁位为零。

    即:当时,u=0。代入(8)式有:

    (9)

    (10)

    当x = 0, y =0,u =u0

    当x =0, y = s, u = - u。

    (11)

    磁极表面是等位线,当u=u0时,则得磁极表面形状方程:

    因此,磁极表面形状为类似抛物线形。

    取两极中心距离s = 40厘米进行计算,根据计算结果,绘出开放型平面多极磁系磁极形状及分布,如图 2所示。

    图  2  开放多极磁系磁极形状及分布
    S—两极中心线间距离

    由场的唯一性原理知,满足这两个条件的平面场,唯有磁极表面形状由1 = 所决定的开放型平面多极磁系才能实现。

    为使该公式的推导在电磁场理论上更为完善,下面用分离变量法推导之。

    选坐标如图 3所示。且设Z方向不影响场强分布,则拉普拉斯方程的通解为3

    (13)
    图  3  坐标选择示意
    a—极间隙宽   b—极面宽  s—两极中心线间距离

    式中:A1n、A2n、B1n、B2n、A10、A20、B10、B20均为待定的系数。

    边界条件:

    (1)y=0,

    (2)x =0,

    (3)(m=0,±1, ±2,………………)

    由条件(1)有:A1n=0, A10 =0,B20 = 0;

    由条件(2)有B1n=0, B10 =0。

    故简化后的复变函数可写为:

    (14)

    式中:D1n = A1n·B1n

    Z=x+iy,式(14)写成:

    (15)

    由复变函数法,磁场强度的共轭复数为:

    (16)

    开放型平面多极磁系磁场强度通式为:

    (17)

    其中D1n、Cn为常数,n不同,其值也不同;由相应的选界条件决定。

    根据对称性原理:

    当Cny=mπ,m=0,±1,±2,±3,……时,研究在磁系的磁极对称中心x方向上的变化,这时

    (18)

    (19)

    , m=0,±1,±2,±3,……时,研究在磁系的极间隙中心线x方向上的变化,这时

    (20)

    (21)

    由式(19)、式(21)可知,H1和H2在x值为同一值时相等。取n=0, 则有:

    (22)

    由边界条件(3)有

    (23)

    根据时(即在极和极间隙对称中心),则有:

    (24)

    因此证得:

    式中,C—磁场非均匀性系数,

    本义从电磁场理论出发,得出了公式H=H0e-cx的边值条件及分离变量推导法,从而说明了该式作为开放型平面多极磁系磁场强度方程式的局限性,完善了原弱磁场磁选理论。

  • 图  1   坐标示意

    图  2   开放多极磁系磁极形状及分布

    S—两极中心线间距离

    图  3   坐标选择示意

    a—极间隙宽   b—极面宽  s—两极中心线间距离

  • [1] 达秋克等:《磁电选矿》, 冶金工业出版社, 10—20页.
    [2] 梁昆淼: 《数学物理方法》, 人民教育出版社, 1979年版, 230页.
    [3] K. G、宾斯等: 《电场及磁场问题分析与计算》, 人民教育出版社, 1980年版, 99页
图(3)
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出版历程
  • 发布日期:  1988-06-29
  • 刊出日期:  1988-06-19

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