0   前言

自从1958年苏联学者卡恰诺夫((Качаноь)首先提出/连续性因子0和/有效应力0的概念。直到1979年Dragon和Morz才把损伤概念引入到岩石和混凝土中来, 从而使岩石和混凝土的破坏研究提高到一个新的水平^[1]。近年来, 损伤力学在材料力学、岩石力学与工程等领域得到广泛的应用。损伤是指在各种加载条件下, 材料内聚力的减弱并导致体积单元破坏的现象。损伤是个不可逆的过程, 且伴随着能量的耗散。

分形理论是研究自然界不规则现象及其内在规律的学科。分形理论的应用非常广泛, 目前分形理论在节理岩体中的应用一般包括3个部分: ①应用分形理论描述岩体中的断层、裂隙和节理等结构面的分布特征。②利用分形思想构造岩体特征的形成过程。③将分形理论用于岩体断裂破坏过程。

为此, 将损伤力学与分形理论结合起来研究节理岩体的力学性质^[2], 首先从最简单的岩石材料损伤演化入手。

1   岩石材料损伤演化分形模型

岩石材料中明显存在着微裂隙、微孔隙、晶粒大小不均等缺陷。它们都会明显地影响岩石材料的强度。大量的研究表明:岩石的这些缺陷分布具有自相似性特征。根据统计损伤模型的启示, 假设微元强度服从Weibull分布W(m, a) ^[3] :

式中:a———尺度参数;

m———反映缺陷在材料中分布状况的参数。

由损伤变量的概念知损伤变量D是材料损伤程度的量度, 而损伤程度与各微元所包含缺陷的多少有关, 这些缺陷直接影响着微元的强度。故有如下关系:

由条件D |ε=0 =0, 可得:

上式就是基于岩石材料中微元强度分布函数满足Weibull分布假设条件下的损伤演化方程。

2   节理岩体损伤的本构方程

对节理岩体而言, 其中的裂隙分布往往是随机的, 而且数量多, 测量工作量大, 只好借助于数理统计理论来分析节理岩体的分布状况和力学性质。首先作如下基本假设:①假设裂隙在整个区域内服从均匀分布。②假设沿纵深方向裂隙没有发生变化, 即裂隙沿纵深方向是完全贯通的, 可简化为二维平面问题。③假设节理裂隙的迹线都是直线, 并可用此参数来近似描述节理裂隙。④岩体内存在的节理尺寸相对于岩体尺寸而言是低一阶小量。

2.1   损伤力学原理

损伤因子ω用下式表示:

在裂隙十分密集之处岩体局部不可承载, 但在有效面积范围内仍能符合虎克定律:

式中:σ———应力, Pa;

E———岩体弹性模量, Pa;

ω———应变。

岩体内部的各种裂隙在外载荷作用下, 产生微裂纹, 并不断发展、分叉、交汇, 最后形成宏观裂纹。在二维情况下, 将岩体分成若干面积为dA的微元, 以λ表示单位面积上裂隙数目的数学期望值。设在面积A的区域内出现K条裂隙的概率服从泊松分布, 即有:

设α=1/λ为单位裂隙面积。

2.2   单位裂隙面积的概率分布

在A到A+dA之间的概率等于A范围内无裂隙, d A范围有一条裂隙的概率之积, 为:

故在面积A范围内裂隙的概率密度Ψ(A)为:

2.3   损伤因子

设单位裂隙面积小于S的微元岩体都丧失承载能力, 则有损失因子ω为:

将(8)式代入(9)式中, 有:

由于α=1/λ, 则有:

在(11)式中以(S/α)^m代替(S/α)有:

式(12)代入式(5)中, 得损伤本构方程:

式(13)即为基本假设条件下的节理岩体损伤本构方程, 损伤变量为:

式中:m———可以理解为裂隙的分形维数。

上式表明:只要用面积S代替ε就可得到与岩石材料有类似表达式的损伤变量。m和D具有相同的物理意义, 分形维数m表征岩体损伤程度的特征值, 随m的增加, 损伤程度也增加。根据岩体损伤程度确定m, 进而建立本构模型。图 1为损伤参量D随S的变化曲线。

图  1  损伤参量D随S的变化曲线

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表明裂隙面积越大, 损伤程度也越大, 这和实际是吻合的。

近年来, 人们一直致力于定量描述岩体结构的数学模型研究, 引入分形几何的方法研究岩体结构面的特征, 提出用一个不变的测度即分形维数m来描述岩体结构的复杂程度^[4]。一般用网格法计算分形维数m, 公式为:

式中:r———划分的小网格边长;

N(r)———切割小网格的岩体结构面的个数总和。

改变r的大小, 得到一系列的N(r)值, 以Inr、InN(r)为坐标轴, 用最小二乘法求出图中曲线的斜率, 其绝对值即为岩体结构面的分形维数m。

岩体结构面的分形维数m既然可以用来表征岩体的损伤程度, 则可用于岩体质量的评价:分形维数m越低, 表明岩体结构分布较单一, 岩体质量越好; 分形维数m较高, 表明岩体结构分布越复杂, 岩体质量越差。

虽然目前确定损伤参量方法很多, 但由于实验水平或现场量测水平的限制, 往往很难真正合理地确定现场节理岩体的损伤程度。加之上述公式本身就有很多假设条件, 具近似性, 从而大大限制了其应用。文献[5]给出实验确定D的方法:设现场岩体及室内岩块的弹性模量分别为E及E′, 对应波速分别为V_p及V′_p, 密度为ρ及ρ′, 考虑到泊松比差别不大, 取为μ, 根据损伤力学的概念, 可定义岩体的损伤参量D为:

而弹性模量E与波速V_p有如下关系:

故只要知道岩块的波速值, 室内岩块弹性模量, 岩体和岩块密度, 即可计算岩体结构的分形维数m, 进而确定现场岩体的损伤张量。

3   结语

在分析岩石材料损伤演化分形的基础上, 将损伤力学与分形理论结合起来研究节理岩体的力学性质, 具有很多优越性; 建立了简化的节理岩体损伤的本构方程, 并对方程中m、D的物理意义和确定方法进行了阐述和推导, 得出m、D是表征岩体损伤程度的参量。