0   引言

对于一处于生产阶段的露天矿而言, 边际品位是一个采矿作业控制指标, 它被用来作为区分矿石与废石的准则, 也即大于边际品位的爆堆作为矿石运往选矿厂, 否则作为废石运往废石场^[1]。求算最优边际品位目的在于使矿山获得最大的总现值^{[2, 3]}。影响边际品位指标最优化的技术经济因素很多。但是从经济分析的观点来看, 在既定的精矿价格以及一定的采选技术条件下, 边际品位指标的优化问题与三个控制因素有关, 即矿山成本结构、露天矿爆堆的品位分布以及企业的盈利目标^[4]。如果采选生产能力一定, 那么金属的产量就取决于采出矿石的品位。而品位的变化, 对采选工作量有很大的影响, 从而会引起成本的变化^[5]。边际分析法是边际品位指标优化的一个很好的分析工具。本文将采用这一方法建立相应的数学模型, 并在此基础上引入资金的时间价值因素和机会成本分析法, 对最优边际品位进行动态调整。

1   边际分析法的最优产量决策

边际分析法是现代经济学中被广泛应用的一种数量分析工具。它的基本思想是通过分析一个经济变量的变化量与由此而引起的另一个经济变量的变化量的比例关系来考察经济问题。最优化边际品位问题就是要协调好金属产量与成本的关系, 从而取得最佳的经济效益, 因此属于边际分析法的最优产量决策问题。

1.1   变量定义

(1) 平均成本AC。是单位产品的平均成本, 计算式为

式中:Q———产品产量;

TC———生产某一特定产量所需的总成本, 它包括固定成本F和可变成本V两部分。

(2) 边际成本MC。是生产最后所增加的那个单位产品所花费的成本, 或者是每增加或减少一个单位产品而使总成本变动的数值, 即

(3) 总收益TR和平均收益AR。分别指产品出售的全部收入和出售单位产品所得到的平均收入,

AR=TR/Q

(4) 边际收益MR。是指多出售一个产品而使总收益增加的值, 即最后出售的那个产品的卖价

1.2   在价格不变的条件下, AR与MR同Q的关系

在一般情况下, 市场上的商品供应量与价格成反比。但是我们假定某一企业面临的是一个自由竞争的市场, 有许多同样的企业生产这种商品, 因此这一企业的产量变动不会影响市场的价格, 它的平均收益与边际收益彼此相等并始终等于这一由市场所决定的价格。由于该企业多卖一个产品, 并不影响卖价, 故AR等于MR。

1.3   利润最大化的必要条件

市场经济条件下企业行为的基本目的是利润最大化。而要使利润最大化, 就必须满足边际成本与边际收益相等这一条件。这是因为, 如果边际收益大于边际成本, 这说明还有潜在的利润可以获得, 企业将继续增加产量, 反之, 如果边际收益小于边际成本, 企业多生产就要亏本, 这时就会减少产量, 一直到边际收益等于边际成本为止。因此企业的最优产量是MR与MC相等时的产量Q。

2   矿山成本结构

2.1   矿山成本结构分解

在传统的管理会计中, 通常把企业成本分解为可变成本与固定成本两个部分。它们是相对产量变动而言的, 前者在产量变动时随之变化, 后者则与产量变动无关(指在某一范围内)。本文根据露天矿生产特点及优化模型的需要, 对上述成本进行了再次分解。

(1) 将可变成本分解为三类。一类是与入选矿量有关的费用, 主要有选矿处理费、矿石运往选厂的运费; 二是与采矿有关的费用, 主要是矿岩的穿孔爆破等费用; 三是与废石运输有关的费用, 主要是废石运输费。

(2) 将固定费用分为两类。一是与时间有关的费用, 即随矿山服务年限增减而变化的费用, 如企业行政管理费等; 二是与时间无关的费用, 即在整个矿山服务年限中发挥作用的一些永久性资产、设施的投资, 如大型设备、主要厂房、建筑物等。对于这一类成本, 如果它们是在矿山建设时投入的, 那么对于目前正在运行的矿山来说是沉没成本。如果是未来的必要更新, 也与品位决策无关, 只有当它们涉及采选能力增减或储量增减时, 才与品位决策有关, 本文对此问题暂不予讨论。

2.2   矿床品位分布

矿床品位分布是指爆堆矿岩中各种品位级别矿量所占的比重, 可用品位分布密度函数f(α)来反映。这一函数可根据整个矿床地质勘探资料, 运用数理统计的方法来求得。矿体形成是一个非常复杂的自然过程, 其品位分布形态不一定严格地符合某种数学函数式。但是大量的勘探和开采实践表明, 大部分矿床品位分布在统计上符合一定的函数形式。本文假定爆堆矿品位服从某种分布函数。如果以α_c记为边际品位, 这时矿岩中品位大于α_c的矿量(作为矿石运往选矿厂)在总的矿岩中所占的比重为P, 即

而这些被当作矿石的矿量的平均品位则为

2.3   符号说明

m———采矿单位作业成本, 指已装车尚未运输的爆堆矿岩之单位成本, 元/t;

t₁———运往选矿厂矿石单位运费, 元/t;

t₂———运往废石场的废石单位运费, 元/t;

c———处理单位原矿的选矿作业费, 元/t;

F———矿山固定费用, 含企业管理费、车间经费等, 但扣除按矿山寿命年限折旧的那部分建筑物及大型设备折旧费, 元/a;

Q———选矿厂处理能力, t/a, 假定它采剥生产能力始终都是平衡的;

K———精矿中金属价格, 元/t;

ε———金属选矿回收率, %;

Q⁰———露天矿采场境界内矿岩总量, t。

3   露天矿边际品位优化的两个静态模型

有了边际分析这个工具, 便可以用它来解决边际品位问题。但是有一点需要明确, 那就是以上所述的边际分析法是对一般厂商而言的, 它假定企业购进原材料、劳动力等生产要素, 然后进行加工生产并销售其产品, 这个过程可以被认为是无限的, 也即假定其原料来源可以是无穷尽的。但是对于一个矿山来说, 其原料——矿石储量是非常有限的。因此, 矿山的服务年限是有限的。在生产能力一定的情况下, 每年的金属产量增加, 矿山的服务年限就要缩短。所以, 对一般的加工企业来说, 能取得单位时间利润最大化即可, 而对于矿山企业来说, 就不能仅仅考虑单位时间内的利润最大化, 而还应考虑如何从这些有限的资源中尽可能地获取利润。这样, 研究露天矿的边际品位, 就应从两方面去考察:一是尽可能地从爆堆矿岩中择其富矿去处理, 以增加年度的金属产量从而实现年利润的最大化; 二是尽可能多地在爆堆中装运一些低品位矿去加工处理, 以提高爆堆矿岩中的金属回收率从而实现单位矿岩的利润最大化。这是两个截然不同的目标, 分别体现着对当前利润和对资源有效利用的极端追求。现根据以上讨论来建立求解的最优边际品位的数学模型。

3.1   使单位时间内利润最大化的边际品位

(1) 每年处理Qt矿石需要的总成本

式中:

———当边际品位为α_c时, 为处理Qt矿石所需的爆堆矿岩量;

———运走Qt矿石后需要作为废石运往废石场的爆堆量;

(2) 每年处理Qt矿石所得的金属量

(3) 从金属销售中所获的收益

(4) 相对于每年的金属量而言的边际成本

(5) 相对于每年金属产量而言的边际收益

(6) 根据利润最大化的条件得

从这一方程中解出α_c, 即是使一年利润最大化的边际品位。

3.2   使爆堆矿岩利润最大化的边际品位

(1) 每吨爆堆矿岩中有Pt作为矿石来处理时所需要的成本

(2) 从单位爆堆矿岩中处理Pt矿石所获得金属量为Q₂, 且Q₂=p ·α·ε。从这些金属中获得的收益为TR₂, 且TR₂=pαεK。

(3) 对应于从单位爆堆矿岩中获得金属矿量的边际成本

相对爆堆矿石量而言的边际收益

(4) 根据利润最大化的条件MC₂=MR₂, 可得

根据式(10)可解得单位爆堆矿岩量利润最大化的边际品位。

3.3   上述两种静态模型的简单分析

(1) 3.1节的计算是以每年的利润最大化为基础, 如果追求这种优化, 就要选取尽可能高品位的爆堆矿石去选别, 使边际品位提高, 矿石量就减少, 而要保证年处理能力的需要就必须增加爆堆矿岩数量, 将会增加采矿成本; 同时, 废石量的增加将使废石运输费加大; 再者由于上述两个方面的约束, 使得边界品位就有一个极限值。公式(6)右边的2项是基本的成本约束因素。这种年度利润最大的优化只有在储量无限大时, 才能永久地持续下去。实际上矿山储量是很有限的, 采取“采富弃贫”的方法来实现矿山的年度利润最大化, 将会使矿山的资源迅速枯竭, 就总体而言不能说是最优。所以, 这种算法只能在储量非常丰富、开采年限极长的矿山的生产初期应用。

(2) 3.2节的算法是从单位爆堆矿岩的利润最大化出发, 表明要在爆堆中尽可能多地获得有用金属, 尽可能地把爆堆中的低品位矿石送往选矿厂处理。而在入选的矿石中所获取金属的价值至少应该能够抵偿其相应的支出费用, 公式(10)右边的4项代表支出费用, 它们是限制边际品位下调的基本因素。此边际品位有利于充分利用资源, 但是, 该指标往往会很小, 满足不了矿山企业财务上的要求。由于该指标不符合尽早回收资金的原则, 从资金的时间价值来看, 也是不合算的。对于可能被开发利用的低品位矿床, 这个指标可以作为矿山开采后期的参考值。

4   露天矿最优边际品位的动态调整

上面的分析表明, 两种模型所求得的分别是满足两个极端目标(即单位时间利润最大化和单位矿岩利润最大化)的最佳边际品位, 一个可作为矿山生产初期的参考值, 另一个可作为矿山生产末期的参考值。那么, 在矿山生产的正常年份里应选择什么样的边际品位才合理呢?为解决这一问题, 可以借助机会成本分析方法。由上可知, 对于单位爆堆矿岩利润最大化的优化模型, 静态分析时只要爆堆矿岩品位大于公式(10)求出的边际品位, 便认为是矿石而送入选厂, 静态地增加了企业的总利润。如果从资金时间价值的观点出发, 增加爆堆矿岩的处理量虽然使企业增加了收益, 但是在矿山生产能力饱和的情况下, 同时也意味着把矿床中品位较高的矿体推迟开采。如果采用动态经济计算方法, 需对这部分收益贴现并进行比较:如果未来的l t富矿(以矿床平均品位计算)收益经折现后的减少值尚大于目前增加处理l t低品位矿石的收益, 显然目前不宜开采、处理这种低品位矿石, 直至折现后的减少值等于目前增加处理l t低品位矿石的收益, 这时的边际品位即为动态最优边际品位。

设目前增加开采选别l t具有边际品位α_c的矿石所获利润为:

由此而推迟开采选别l t具有平均品位的矿石所获的利润为

设推迟富矿开采年限为n年, 折现率为i, 则这时最优边界品位必须满足下列等式:

则有

从(13)式中可解出动态最优边界品位。此方程式具有以下几个特点:

(1) 当所有的成本、收益参数给定时, 可以证明方程的解与剩余服务年限n之间呈现单调递增关系。因为开采年限越延长, 折现后的减少值(损失值)就越大, 对目前开采l t低品位矿所获收益的要求就越高, 从而动态边际品位就越高。

(2) 当i =0或n =0时, 由此可得

这与静态分析中第二种优化模型结果一致。

(3) 当n→∞时,

那么有

整理得

这与静态分析中第一种优化模型公式(6)的结果一致。

5   计算实例

已知某有色金属矿爆堆矿岩中单位矿量占总的矿岩比重P与边际品位α_c有下述关系:

P =e^1.2-300α_c,

而且各技术参数取值如下:

Q₀ =4 000万t, Q=150万t, F =1 950万元/a,

K =6 000元/t, m =9元/t, t₁ =2元/t,

t₂ =1元/t, c=10元/t, ε=95 %。

该矿的入选平均品位可按下面方法计算

利用(16)式, 并把各技术经济参数分别代入方程式(6)、(10)、(12)得到:

(1) 使单位时间内利润最大化的边际品位α_c= 0.61 %;

(2) 使单位爆堆矿岩利润最大化的边际品位αc=0.42 %;

(3) 设折现率为i =10 %, 在给定剩余服务年限n时, 各剩余年度的动态边际品位由公式(13)求得。表 1给出了剩余服务年限动态边际品位、累积采出矿岩量之间的关系。从表中可知, 该露天矿的剩余服务年限为19.35a, 届时4 000万t矿岩全部采完。

表  1  矿山动态边际品位和采出矿岩量

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