磨矿作业在选矿厂中占有非常重要的地位，其能耗约占整个选矿厂能耗的50 %左右^[1].磨矿是一个复杂的高能耗、低效率的作业，其过程还不是完全清楚，为了更好地进行磨矿作业，研究磨矿动力学很有必要^[2-4].目前，对矿石磨碎的动力学模型有许多种，主要分为2类，一类是粒度及其相关量与时间及其相关量的动力学模型，另一类是总体平衡动力学模型^[5].本文选用E.W.戴维斯提出的动力学模型来分析讨论钨矿石在磨矿过程中的行为，此模型研究的是被磨物料磨碎速率与其磨矿时间的关系，而物料的磨碎速率遵循磨矿动力学方程，磨矿动力学方程的参数k和n在一定程度上可以反映物料被磨碎的快慢以及为选择性磨矿和现场生产指标评价提供依据^[6-15].磨矿动力学方程式还可以用来预测不同磨矿时间磨矿产品的粒度分布^[16-18].在很多情况n阶磨矿动力学较一阶磨矿动力学更符合实际，因此大多情况下，此动力学模型均是用n阶磨矿动力学来分析矿石在磨矿过程中的行为^[19-21]，而本文针对湖南柿竹园钨矿石特性，将其磨矿产品分为不大于0.1 mm粒级的细粒级产品和大于0.1 mm粒级的粗粒级产品，分别探讨其磨矿动力学规律并建立数学模型，为选矿厂磨矿实践提供指导.

1   试验

1.1   矿石性质

试验所用钨矿石取自湖南柿竹园多金属选厂，主要矿物为白钨矿、黑钨矿、假象及半假象黑钨矿，其中白钨矿与黑钨矿的比例为7:3.白钨矿密度为6.1 t/m³，解离度平行中等，普氏硬度系数f为4.5~5，属中等硬度；黑钨矿密度为7.30 t/m³，解离度平行完全，普氏硬度系数f为4~5.5，属中等硬度.钨矿石不规则抗压强度为400 kg/cm2左右，即换算成普氏硬度系数f为4左右.

1.2   试验条件

在XMB三辊四筒磨机上分别进行了钨矿石不同磨矿时间（2 min、3 min、4 min、5 min、6 min、7 min）的分批磨矿试验.所用磨筒尺寸为φ135 mm×146 mm，磨筒转速为85 r/min，磨矿介质为钢球，磨矿浓度为70 %，介质充填率为45 %，磨矿量为200 g.

1.3   粒度测定

采用筛孔尺寸为0.074 mm、0.1 mm、0.15 mm、0.3 mm、0.5 mm、1.0 mm、2.0 mm的套筛测定物料0.074~2.00 mm间的各粒级分布；采用激光粒度分析仪测定物料≤0.074 mm的各粒级分布.

1.4   试验方法

对不同磨矿时间下的磨矿产品粒度分布，用一阶磨矿动力学进行验证，并采用Origin软件进行拟合，求解不同粒级下磨矿动力学参数k值，观察并比较求解不同粒级的磨矿动力学参数k值时的拟合程度R²，确定磨矿产品符合一阶磨矿动力学的粒级范围，并建立一阶磨矿动力学方程式^[22-24].对于磨矿产品不在一阶磨矿动力学粒级范围内的，同样采用Origin软件进行求解不同粒级的磨矿动力学参数k和n值，并在此粒级范围内建立n阶磨矿动力学方程式^[25].最后分别运用所求得的各自粒级范围内的一阶或n阶磨矿动力学方程式进行理论计算，将计算结果与实际磨矿结果进行比较，来验证本研究所求解的磨矿动力学方程式的准确性，为选矿厂磨矿提供理论依据^[26-28].

2   磨矿动力学原理

磨矿动力学是指被磨物料的磨碎速率与磨矿时间的关系，其n阶磨矿动力学方程式为：

式（1）中：R为磨矿为t时刻磨矿产品中粗粒级产率；R₀为原矿中该粗粒级比率；t为磨矿时间；k为动力学参数；n为动力学参数，当n=0时称为零阶动力学，n=1时称为一阶动力学^{[12, 29]}.

对式（1）进行变换得：

式（1）中，动力学参数n和k分别是粒度d的函数，表达式如式（4）和式（5）所示^[30]：

式（4）、式（5）中c₀，c₁，a₀，a₁及x₁，x₂分别为待定参数.

3   结果与讨论

3.1   一阶磨矿动力学

3.1.1   磨矿动力学参数k的求解

在磨矿条件为磨筒转速170 r/min，矿浆浓度为70 %，介质充填率为45 %下，依次对物料进行不同时长（2 min、3 min、4 min、5 min、6 min、7 min）的磨矿，结果如表 1所示.

表  1  不同磨矿时间下磨矿产品筛上累积粒度分布/%

Table  1.  Cumulative oversize distribution of grinding products under different grinding time /%

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由表 1可知，0.1 mm及其以下粒级筛上累积产率随着时间的延长逐渐减少，且趋势较平缓；0.1 mm以上粒级筛上累积产率在5 min之前减少的较快，而5 min之后减少的较慢.这表明粗粒级矿粒相对于较细粒级矿粒更好磨，随着磨矿时间的延长，各类粒级矿石裂缝、缺陷越少，磨细越困难，因而使得矿石的可磨性逐渐变差^[8].

由表 1可计算出磨矿产品不同时间不同粒级的ln（R₀/R）值，结果如表 2所示.

表  2  不同磨矿时间下不同粒级的ln（R₀/R）值

Table  2.  ln (R₀/R) of different particle sizes under different grinding time

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根据表 2绘制不同粒级的ln（R₀/R）与时间t的关系曲线，如图 1所示.并根据式（1）对不同粒级的ln（R₀/R）与时间t的关系曲线进行线性拟合，得到钨矿石不同粒级下的磨矿动力学参数k值，结果如表 3所示.

图  1  不同粒级下ln（R₀/R）与时间t的关系曲线

Figure  1.  Relationship curve between the ln (R₀/R) values of different particle sizes and grinding time t

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表  3  不同粒级的磨矿动力学参数k

Table  3.  Grinding kinetics parameters k of different particle sizes

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由表 3可知：随着粒级的减小，k值逐渐变小，矿粒被磨碎速率越小^[5]，这是因为随着矿石粒径的减少，剩余矿粒表面裂缝相对较少，强度较高.矿粒在0.1 mm及其以下粒级的线性相关系数R²均在0.99以上，而在0.1 mm以上粒级的线性相关系数R²均在0.96以上，拟合程度不高.因此矿粒在0.1 mm及其以下粒级符合一阶磨矿动力学，而在0.1 mm以上粒级则符合n阶磨矿动力学.

3.1.2   一阶磨矿动力学方程的建立

在上述基础上，将表 3中不同粒级的磨矿动力学参数k在0.1 mm及其以下粒级进行曲线拟合，求出钨矿石的磨矿动力学参数k的表达式，结果如图 2所示.

图  2  磨矿动力学参数k与d的关系曲线

Figure  2.  Relationship curve between the grinding kinetics parameters k and d

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由图 2可知，参数K_i呈幂函数的形式，可表示为：

利用Origin软件对式（6）进行曲线拟合，求得参数a₀、a₁和x，从而求得钨矿石的一阶磨矿动力学参数k的表达式为：

将式（7）代入式（1），可建立钨矿石在0.1 mm及其以下粒级的一阶磨矿动力学方程为：

3.2   n阶磨矿动力学

3.2.1   磨矿动力学参数n和k的求解

由上述分析可知，钨矿石在0.1 mm以上粒级时不符合一阶磨矿动力学.为验证其是否符合n阶磨矿动力学，由表 1中0.1 mm以上粒级数据通过式（3）进行计算，得到不同粒级的lg（lgR₀/R）与t的关系，结果如表 4所示.

表  4  不同磨矿时间下不同粒级lg（lgR₀/R）值

Table  4.  lg (lgR₀/R) of different particle sizes under different grinding time

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根据表 4绘制不同粒级的lg（lgR₀/R）与lgt的关系曲线，如图 3所示.根据式（2）对不同粒级的lg（lgR₀/R）与lgt的关系曲线进行线性拟合，得到不同粒级的动力学参数n值，进一步利用式（3）计算动力学参数k值，结果如表 5所示.

图  3  不同粒级的lg（lgR₀/R）与lgt的关系曲线图

Figure  3.  Relationship curve between the lg (lgR₀/R) values of different particle sizes and lgt

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表  5  不同粒级的磨矿动力学参数n和k

Table  5.  Grinding kinetics parameters n and k of different particle sizes

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由表 5可以看出，随着粒级的减小，矿粒的动力学参数n值逐渐增大，k值逐渐减小.这是因为随着矿石粒径的减少，矿粒表面裂缝相对越少，矿粒强度越高，因而表现为随着矿石粒径逐渐减小，矿石的可磨性逐渐变差直至变化不大；随着矿石粒径的减少，矿石逐渐变脆，矿石的均匀性逐渐变差^[16].

3.2.2   n阶磨矿动力学方程的建立

根据表 5中数据绘制动力学参数n和k与粒径d的关系曲线，并进行拟合，如图 4所示.

图  4  动力学参数n和k与粒径d的关系曲线图

Figure  4.  Relationship curve between grinding kinetics parameters n and k and diameter d

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由图 4可知，曲线k=f（d）呈幂函数形式，而曲线n=f（d）更接近于对数形式，如式（9）和式（10）所示.

根据表 5数据，利用Origin软件分别对式（9）和式（10）进行曲线拟合，求得未知参数c₀，c₁，a₀，a₁和x，进而求得钨矿石的磨矿动力学参数k和n的表达式分别为：

将式（11）和式（12）代入式（1）得在0.1 mm以上粒级的n阶磨矿动力学方程为：

3.3   磨矿动力学方程的验证

为了验证所建立的磨矿动力学方程对柿竹园钨矿石磨矿的适用性，将式（8）和式（13）建立的0.1 mm及其以下粒级与0.1 mm以上粒级的磨矿动力学方程进行计算，得到各自粒级范围内不同磨矿时间下的磨矿产品筛上累积产率理论值，结果如表 6所示.

表  6  不同磨矿时间下的磨矿产品筛上累积产率理论值/%

Table  6.  Theoretical values of cumulative oversize distribution of grinding products under different grinding time /%

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将表 6数据与表 1数据进行对比，得到利用磨矿动力学方程计算的不同磨矿时间下磨矿产品不同粒级的筛上累积产率理论值与实际磨矿试验值的偏差值，结果如表 7所示.

表  7  筛上累积产率理论值与实际磨矿试验值的偏差值△R /%

Table  7.  Deviation values△R of theoretical values and actual grinding test values of cumulative oversize /%

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从表 7可以看出，所建立的磨矿动力学方程对柿竹园钨矿石实际磨碎规律的吻合程度较高，与其它磨矿动力学模型相比，该磨矿动力学方程相对结构简单.因此，利用所建立的磨矿动力学方程为选矿厂预测磨矿产品粒度分布及进一步为通过调节磨机给矿量和分级机返砂量来控制磨矿产品粒度分布情况提供了理论依据.

4   结论

1）对柿竹园钨矿石而言，矿粒在0.1 mm及其以下粒级符合一阶磨矿动力学，在0.1mm以上粒级则符合n阶磨矿动力学.

2）一阶磨矿动力学参数k与粒径d呈幂函数关系，其一阶磨矿动力学方程为R=R₀exp[-（0.014 42+ 9.538 65d^{1.761 28}）t].

3）n阶磨矿动力学参数中，k与粒径d呈幂函数关系，n与粒径d呈对数函数关系，其n阶磨矿动力学方程为R=R₀exp[-（-0.134 1+1.151 42d^0.68169）t^{0.71818-0.38656lnd}].

4）所建立的磨矿动力学方程相对结构简单，而且所得到的磨矿产品筛上累积产率理论值与磨矿试验值吻合程度较高，可以用来指导选矿厂磨矿实践.